这学期学的 DSP 爆肝后顺利通过了，记录一下前期没搞懂的卷积的内容，主要是线性卷积计算方法和使用线性卷积计算圆周卷积的方法。为此学习了一下之前从来没有接触过的 LaTeX 语法，一直使用的是 Word 里面内嵌的 Unicode Math 语法。不得不说，LaTeX 挺香

线性卷积

线性卷积一般使用不进位乘法（或称对位相乘相加法）进行计算

例题：

设线性时不变系统的单位脉冲响应 h(n) 和输入序列 x(n) 如下，求输出序列 y(n) = x(n) * h(x)

$$ x(n)=\{1,2,\underline4,3\}\\ h(n)=\{\underline2,3,5\} $$

解：

如题，x(n) 最右侧的数字 3 距离下划线的距离为 1，故 n=1

h(n) 最右侧的数字 5 距离下划线的距离为 2，故 n=2

将 x(n) 和 h(n) 列为竖式乘法的形式，并在最右侧标注 n 的值

$$ \begin {array}{ccc} &1&2&4&3&\leftarrow n=1\\ \times &&2&3&5&\leftarrow n=2\\ \hline \end {array} $$

接下来进行常规的竖式乘法计算

$$ \begin {array}{ccc} &&&1&2&4&3&\leftarrow n=1\\ \times &&&&2&3&5&\leftarrow n=2\\ \hline &&&5&10&20&15\\ &&3&6&12&9\\ &2&4&8&6\\ \hline \end {array} $$

然后进行竖式乘法相加，注意计算结果不进位

$$ \begin {array}{ccc} &&&1&2&4&3&\leftarrow n=1\\ \times &&&&2&3&5&\leftarrow n=2\\ \hline &&&5&10&20&15\\ &&3&6&12&9\\ &2&4&8&6\\ \hline &2&7&19&28&29&15 \end {array} $$

最后将 x(n) 和 h(n) 的 n 相加，得到 n=1+2=3 写在结果后面

$$ \begin {array}{ccc} &&&1&2&4&3&\leftarrow n=1\\ \times &&&&2&3&5&\leftarrow n=2\\ \hline &&&5&10&20&15\\ &&3&6&12&9\\ &2&4&8&6\\ \hline &2&7&19&28&29&15&\leftarrow n=3 \end {array} $$

故从右往左数第 n+1 个数为 y(0)

按顺序写下不进位乘法结果即为答案

$$ y(n)=\{2,7,\underline{19},28,29,15\} $$

循环卷积、圆周卷积

循环卷积和圆周卷积是一个意思，之后文章里统一使用圆周卷积来作说明

圆周卷价一般使用矩阵相乘法求解

但是这里给出一个更简单的方法，使用线性卷积间接计算圆周卷积

例题：

设线性时不变系统的单位脉冲响应 h(n) 和输入序列 x(n) 如下，求它们的 4 点圆周卷积、 5 点圆周卷积和 7 点圆周卷积

$$ x(n)=\{1,2,\underline4,3\}\\ h(n)=\{\underline2,3,5\} $$

解：

由上面例题的求解过程可以知道它们的线性卷积为

$$ y(n)=\{2,7,\underline{19},28,29,15\} $$

y(n) 的序列长度为 6

对于 4 点圆周卷积

由于 4 点小于线性卷积的 6 点，其中的两点存在混杂现象，那么将第五点的值加到第一点上，第六点的值加到第二点上，故 4 点圆周卷积为

$$ z^1(n)=\{31,22,\underline{19},28\} $$

同理，对于 5 点圆周卷积

其中一点存在混杂现象，那么只需要将第六点加到第一点上，故 5 点圆周卷积为

$$ z^2(n)=\{17,7,\underline{19},28,29\} $$

对于 7 点圆周卷积

由于 7 点大于线性卷积的 6 点，没有发生混杂现象，只需要在线性卷积右侧使用 0 补足 7 点即可，故 7 点圆周卷积为

$$ z^3(n)=\{2,7,\underline{19},28,29,15,0\} $$